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Dirichlet de convergence simple, la s´rie de Fourier de f converge simplement sur R vers f (x). e +∞
• Comme f est impaire sa s´rie de Fourier s’´crit e e avec bn = 2 ×
• Ainsi
4 π 1
2π
π
sin(nt)f (t) d t =
−π
2 π π
bn sin nx n=1 sin nt d t =
0
2
4
(1 − (−1)n ) de sorte que b2n = 0 et b2n+1 =
(2n + 1)π nπ +∞
sin(2n + 1)x
= f (x) pour tout r´el x e 2n + 1 n=0 2. En particulier pour x =
π il vient
2
+∞
π
(−1)n
=
2n + 1
4
n=0
Par ailleurs l’´galit´ de Parseval fournit f e e
2
2
=
1 +∞ 2 b avec f
2 n=0 2n+1
2
2
=
1
2π
π
f (t)2 d t =
−π
π
1 π dt = 1
0
1 π2 2 =
8
n=0 (2n + 1)
+∞
Ainsi
Exercice 2 : un syst`me diff´rentiel. e e
1. Il vient χA (X) = (X − 2)2 de sorte que B = A − 2I2 est nilpotente par le th´or`me de Cayley-Hamilton. e e
Il en d´coule que exp(tB) = I2 + tB = (1 − 2t)I2 + tA puique B 2 = 0 de sorte que e +∞ tn B n
n=2
n!
= 0.
Il en r´sulte que exp(tA) = e2t (1 − 2t)I2 + tA e 2. Par r´sultat de cours, la solution du probl`me de Cauchy du syst`me diff´rentiel lin´aire ` coefficients constants e e e e e a propos´ est X(t) = exp(tA)X0 . e 1 − 3t
2 + 3t
On obtient ainsi X(t) = e2t
Probl`me : s´ries de Taylor et d´veloppements en s´rie enti`re. e e e e e +∞
1
= xn pour x ∈] − 1, 1[ et, par d´rivation terme ` terme d’une s´rie enti`re dans l’intervalle ouvert e a e e
1 − x n=0
+∞
1 pour tout x ∈] − 1, 1[. de convergence, on obtient nxn−1 =
(1 − x)2 n=1 1. On a
A