Université Hassan 1er

Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales. Settat. 2ème année de Sciences Economiques

Fiche 2 de T.D de Mathématiques
Applications linéaires
Module : Méthodes quantitatives III

Année universitaire : 2013-2014

Exercice 1

I/ les applications suivantes sont-elles linéaires ? justifier: g : R2R2 , définie par g(x,y) =(2x + y , x -2) h : R2R3 , définie par h(x,y) =(x, |y|, 0)

II/ Soit f l’application linéaire de R3 dans R2 définie par : f(x, y, z) = (x – y+ z, x + y - z)
1) Déterminer le noyau de f (ker f). Donner une base de Ker f et sa dimension.
2) En déduire Imf. f est-elle surjective ? est-elle injective ?

Exercice 2 On considère l’application de R3 dans R4 définie par : f(x, y, z) = (x + 2y, -x – 3y + z, 2x + 4y, 3x + 3y + 3z)
1) Montrer que f est une application linéaire.
2) f est-elle surjective ? Justifier.
3) Déterminer le noyau de f.
4) Quel est le rang de f ?
5) Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques de R3 et R4

Exercice 3 On considère l’application linéaire de R3 dans R3 , définie par : f(x, y, z) = (x + y + z, x – y +2z, x - 2y - z)
1) Trouver le noyau de f ?
2) En déduire Im f et rang f
3) f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
4) Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3
5) Donner la matrice de f relativement à la base {(1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1)} de R3

Exercice 4

Soient e1 = (1,1,1) ; e2 = (2,1,1) ; e3 = (3,-1,-2) On pose
1) Montrer que {e1, e2, e3} est une base de R3
2) Donner l’image par f d’un élément (x, y, z) de R3.
3) Donner la matrice de f relativement aux bases canoniques de R3 et R2.
4) Donner la matrice de f dans la base {e1, e2, e3} R3 et la base canonique de R2.
5) Donner rang f et Im f. f est-elle injective ? bijective ?

Correction des Exercices

Exercice 1 :
I/ g(x,y) =(2x + y , x -2) g(0,0) = (0,-2) ≠ (0,0) g n’est donc pas linéaire.

h(x,y) =(x, |y|, 0)