Partie A
On considère la suite définie par et pour tout entier naturel , 1. On considère la suite définie pour tout entier naturel par .
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout entier naturel on a : Donc la suite est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme : .
b. Exprimer en fonction de .
La formule explicite de la suite géométrique déterminée à la question précédente est : c. En déduire que pour tout entier naturel . On remplace par sa formule explicite ce qui donne : 2. Déterminer la limite de la suite et en déduire celle de la suite . car .
Par produit, .
En ajoutant 12 ; on obtient .
Partie B
En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :
• 10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;
• 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.
1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite où désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année .
• D'une année à l'autre 10 % des habitants « diparaissent » donc il en reste 90 % soit ;
• il y a 1 200 nouveaux habitants soit 1,2 milliers.
Du coup le nombre d'habitants l'année est égal à : .
En outre on sait qu'en 2012 la ville compte 10 milliers d'habitants et que désigne le nombre d'habitants l'année donc .
Ainsi la suite correspond bien à celle donnée dans la partie A.
2. Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années à venir.
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année . On complète la boucle pour avec la relation de récurrence permettant de calculer les termes successifs de la suite : 3.a. Résoudre l'inéquation .