Cercle circonscrit

alors elle est ┴ à l'autre. - 2 droites sont orthogonales si elles st // à des droites sécantes orthogonales Cercle - Si un point M est sur un cercle de centre O et de rayon r, alors OM= r - Si un ∆ est rectangle, alors le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit, càd la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse. - Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors (MA) est ┴ à (MB) Médiatrice - Si un point est équidistant des extrémités d'un segment

perpendiculaires alors leurs images par une symétrie orthogonale ou centrale sont deux droites perpendiculaires. •Centrale A B O Cercle circonscrit C [BC] diamètre du cercle et A est sur le cercle A Longueur de la médiane C A’ B AA’ = BC Si un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre d’un cercle et un point de ce cercle alors ce triangle est rectangle. (d1’) ⊥ (d2’) (AB) ⊥ (AC) Si, dans un triangle, la longueur de la médiane issue d’un sommet

| |2. Construction du R.P. Durand |12. Construction à partir d'un carré inscrit dans un demi-cercle | |3. Méthode des tangentes à un cercle |13. Construction d'architecte | |4. Méthode des cercles tangents | | |5. Construction à partir d'un

JK2=62 = 36 et KL2 + JL2=4,82+3,62=23,04+12,96=36. Donc JK2=KL2+JL2 D'après la réciproque du théorème de Pythagore, JKL est rectangle en L. 2. On sait que : -[IJ] est un diamètre du cercle - M appartient au cercle. Or, si un des cotés d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Donc IJM est rectangle en M. 3. D’après

[AB] est un diamètre de son cercle circonscrit. 3. On se demande si le tableau suivant est un tableau de proportionnalité : Si le cercle circonscrit à un triangle admet pour diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle Distance 30 km 50 km 100 km 200 km Donc ABC et rectangle en C. Prix 48e 55e 61e 78e Les angles CAB et ABC sont complémentaires ( leur somme vaut 90◦ ) CBA mesure 90◦ − 59◦ = 31◦ Figure 3 ABCDE est un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O. 360◦ Le triangle

sont concourantes. b. Leur point d’intersection est ………………. ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………….. Cas particulier : triangle rectangle Propriété 1 Le centre du cercle circonscrit d’un triangle rectangle est …………………………………….. …………………………………………………….. Propriété 2 Si M appartient au cercle de diamètre [AB] en étant distinct de A et B Alors : ………………………………………………. ……………………………………………………….. 5. Bissectrice d’un angle Définition La bissectrice d’un angle xOy est la droite qui passe

d’angle θ. Soit C1 d´duit de C par SA , B1 d´duit de B par SC , A1 d´duit de A par SB . Montrer que les deux triangles ABC et A1 B1 C1 ont mˆme centre de gravit´. e e Exercice 14. Centre du cercle circonscrit Soient a, b, c ∈ C, affixes de points A, B, C non align´s. Calculer l’affixe du centre du cercle circonscrit ` ABC en e a fonction de a, b, c. Exercice 15. Sph`re de R3 e Soient u, v ∈ C tels que u + v = 0. On pose x = 1 + uv , y = i 1 − uv , z = u − v . u+v u+v u+v 1) CNS sur u et v pour que x, y

cm2 Exercice 2   1. Quelle est la nature du triangle ABD ? Le triangle ABD a pour cercle circonscrit le cercle de centre O et de diamètre [BD]. Or, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un côté du triangle, alors ce triangle est rectangle. Donc ABD est rectangle en A 
2. Calcul de l'angle ADB • BCA = 60° car le triangle ABC est équilatéral • BDA et BCA interceptent le même arc de cercle BA Donc BCA = BDA  BDA= 60° 3. Problème Partie I On suppose que AE = 2 m 1

Qu’est-ce que le rectangle d’or ? Un rectangle est appelé rectangle d’or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d’or . ABCD est un carré de côté l ; E est le milieu de [AB]. On trace un arc de cercle de centre E et de rayon CE ; il coupe (AB) en F. On construit alors G tel que ADGF soit un rectangle. ADGF est un rectangle d’or . Démonstration : Montrons que . AB = l donc EB = . En utilisant le théorème de Pythagore

triangle PLI est rectangle en P. PL × PI 5 × 12 60 = = = 30 cm². 2 2 2 3. Puisque le triangle PLI est rectangle en P, le centre O de son cercle circonconscrit se situe au milieu de l’hypoténuse [IL]. 5 × 12 × 13 5 × 2 × 2 × 3 × 13 13 = = = 6,5 cm 4. a. R = 2 2×2×5×2×3 4 × 30 2. APLI = b. On retouve que le rayon du cercle circonscrit est égal à la moitier de la longueur de l’hypoténuse. (13 : 2 = 6,5 cm) Exercice 3 (7 points) 1 7 2 1. A = – × (On effectue d’abord la multiplication