COURS MPSI

10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES

R. FERREOL 09/10

A) APPLICATIONS LINÉAIRES REM : dans ce cours, E,F et G désignent des K-espaces vectoriels. I) GÉNÉRALITÉS. 1) Définition. DEF : Soit f une application de E dans F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c’est un morphisme de K-espaces vectoriels) si f est un morphisme pour les deux lois définies sur E et F, c’est-à-dire si → → → → → → 1. ∀− , − ∈ E f (− + − ) = f (− ) + f (− ) x y x y x y − ∈ E ∀λ ∈ K f (λ− ) = λf (− ) → → → 2. ∀ x x x REM 1: on peut regrouper 1. et 2. en un seul énoncé : → → → → → → 3. ∀− , − ∈ E ∀λ ∈ K f (− + λ− ) = f (− ) + λf (− ) x y x y x y D1 REM 2 : 1. signifie que f est un morphisme du groupe (E, +) vers le groupe (F, +) : mais ceci ne suffit pas pour que f soit linéaire ; par exemple, z → z est un morphisme additif de C dans C, mais elle n’est pas C-linéaire (par contre, elle est R-linéaire). Premières propriétés : si f est linéaire : f f i=1 − → − → 0E = 0F n → λi − i x

n

= i=1 → → → λi f (− i ) (donc f (cl (− i )) = cl(f (− i ))) x x x

D2 2) Exemples. a) Homothéties vectorielles. → → → DEF : pour tout scalaire a et tout − de E, on pose ha (− ) = a− ; l’application ha ∈ E E est appelée l’homothétie x x x (vectorielle) de rapport a. PROP : les homothéties sont linéaires. D3 Propriétés immédiates : h1 = idE , ha = a.idE ha ◦ hb = hab = hb ◦ ha ha est bijective ssi a = 0 et (ha )−1 = h1/a L’ensemble H (E) des homothéties vectorielles de E de rapport non nul − → est un sous-groupe de (bij (E) , ◦) , isomorphe à (K ∗ , ×) si E n’est ps réduit à { 0 } D4 PROP : si E est une droite (donc par exemple si E = K) les homothéties sont les seules applications linéaires de E dans E. D5 b) Projections vectorielles. Elles ont été définies au moment des sommes directes. PROP : les projections sont linéaires. D6 1

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Propriétés immédiates : si E = F ⊕ G , soient p (resp q) la