Série Corrigée N°1-ÉNONCÉS
Modèles Économétriques à Une Équation-Régression Simple
Exercice 1 :
𝟏𝟎
On considère les matrices 𝑨 =
𝟐

𝟒
𝟖

𝟒
𝟔
,𝑩 = 𝟑
𝟕
𝟓

𝟐
𝟗
𝟒

𝟏
𝒆𝒕 𝑪 = 𝟔
𝟖

𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟓

𝟓
𝟒
𝟕

1) Calculer 𝑩. 𝑨 −𝟏 et déduire 𝑨′ . 𝑩′ −𝟏
2) Calculer 𝒕𝒓 𝑨. 𝑩 𝒆𝒕 𝒕𝒓 𝑩. 𝑨
3) Calculer 𝑪−𝟏
4) Soit 𝑫 une matrice de dimension 𝒏, 𝒑 𝒆𝒕 𝑬 = 𝑫′ . 𝑫
Montrer que :
a) 𝑬 est symétrique
b)
𝒕𝒓 𝑬 =

𝒅𝒊𝒋
𝒊

𝒋

5) On considère des matrices carrées 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫, 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 où 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 sont deux matrices non singulières, développer le produit matriciel suivant : 𝑿 =

𝑨𝑩 + 𝑪𝑫

′

𝑬𝑭

−𝟏

+ 𝑮𝑯

′

Exercice 2 :
On considère :
 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … 𝑿𝒏 𝒏 vecteurs colonne de ℝ𝒌
 𝒊 le vecteur unitaire de ℝ𝒌 : 𝒊 = 𝟏, 𝟏, … , 𝟏
𝟏
 La matrice 𝑴𝟎 = 𝑰𝒏 − 𝒊𝒊′

′

𝒏

𝑿′𝟏
 𝑿 une matrice de dimension 𝒏, 𝒌 dont l’ième ligne est 𝑿′𝒊 : 𝑿 = ⋮
𝑿′𝒏
𝒌
 𝑿 un vecteur colonne de ℝ (les moyennes des lignes de la matrice 𝑿′ ou les moyennes des colonnes de la matrice 𝑿
1) Montrer que :
a)
𝒏

𝑿′ 𝑿
b)

𝑿𝒊 𝑿′𝒊

=
𝒊=𝟏

1

BEN AHMED MOHSEN

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Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 𝒏
′

𝑿𝒊=
c)
𝑿=
2)

𝑿𝒊
𝒊=𝟏

𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏

𝒏

𝑿𝒊 − 𝒂 𝑿 𝒊 − 𝒂
𝒊=𝟏

′

= 𝑿′ 𝑴𝟎 𝑿 + 𝒏 𝑿 − 𝒂 𝑿 − 𝒂

′

Où 𝒂 est un vecteur de ℝ𝒌

Exercice 3 :
On considère une matrice 𝑿 de dimension 𝒏, 𝒌 ; le vecteur 𝜷 = 𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 , … , 𝜷𝒌 ′ et les vecteurs aléatoires 𝒀 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , … , 𝒚𝒏 ′ et 𝓔 = 𝓔𝟏 , 𝓔𝟐 , … , 𝓔𝒏 ′ . On suppose que les 𝓔𝐢 sont iid de 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐 et que
𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷
1) Déterminer, en fonction de 𝑿 et 𝒀 le vecteur 𝜷 qui minimise 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 par rapport à 𝜷
(Indication : 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 = 𝓔′ 𝓔 )
2) Démontrer que les matrices 𝑴 et 𝑷 sont symétriques idempotentes ; 𝑷 = 𝑿 𝑿′