Factorisation

16Facto3e1 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr FACTORISATIONS I. Factorisations avec facteur commun Vient du latin « Factor » = celui qui fait Introduction : Retrouver les expressions qui sont factorisées : A = (2x + 1)(1 + x) F = (1 + 3x)(x – 2) + 1 K = (x – 4) – 3(5 + 2x) B = (x + 3) + (1 – 3x) G = 4x – 15 L = (6 + x)2 – 4(2 + 3x) C = (x – 4) – 3(3 + 2x) H = (8x + 4)(2x + 1)(1 + x) M = (2 + 2)(3 – 4x) D = 2(1 + x) I

second degré : ax 2 + bx + c = 0 x ySecond degré Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exemple : 3 est une racine du trinôme 2x 2 – 4x – 6. Exercice : trouver les racines du trinôme x 2 – 3 : On résout l’équation x 2 – 3 = 0 par factorisation : (x – 3 )(x + 3 ) = 0 et on trouve S = { – 3 ; 3 } D’une manière générale, comment trouver les racines d’un trinôme ax 2 + bx + c ? On va voir qu’il existe des formules. Le principe est de transformer le trinôme pour que la variable x n’apparaisse

sont identiques Propriété: Si 2 polynômes sont identiques, alors leurs coefficients sont égaux. Exemple : pour tout x de R , ax2 + bx + c = 5x + 1 Par identification des coefficients, on obtient: a=0 , b=5 et c=1 II- Racines et factorisation d’un polynôme Définition: les racines ou « zéros » d’un polynôme p sont les solutions de l’équation p(x) = 0 p(x) = 5x2 – 6x -8 p(2) = 5 x 22 – 6 x 2 -8 p(2) = 0 2 est une racine de p. Propriété : si le réel a est racine du polynôme

B. Factorisation : avec facteur commun : Exercice 4381 Factoriser les expressions suivantes : a. (3x − 1)(2x + 1) + (5 − x)(2x + 1) b. x(2 − x) + (3x + 1)(2 − x) c. (x + 1)(x − 1) − (2x + 3)(x − 1) d. (3x + 4)(2x − 1) + 4(3x + 4) e. (2x + 4)(3 − 3x) + (2x + 4) f. (x + 1)(3 − 2x) + (3 − 2x)2 Seconde - Calcul algébrique, équation, problème - http://chingatome.net C. Factorisation : reconnaissance du facteur commun : 3−x ; Exercice 2095 1. b. En déduire une factorisation de l’expression

du second degré : ax2 + bx + c = 0 Second degré Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exemple : 3 est une racine du trinôme 2x2 – 4x – 6. Exercice : trouver les racines du trinôme x2 – 3 : On résout l’équation x2 – 3 = 0 par factorisation : (x – 3 )(x + S={– 3 ; 3} 3 ) = 0 et on trouve D’une manière générale, comment trouver les racines d’un trinôme ax2 + bx + c ? On va voir qu’il existe des formules. Le principe est de transformer le trinôme pour que la variable x n’apparaisse

.............................................................................................1 Représentation graphique et variations..........................................................................................................2 Factorisation et racines...................................................................................................................................3 Signe du trinôme ..................................................................................

= 14. c) Signe de Δ Lorsque a et c sont des signes contraires, ac < O donc on a a Δ > O et on est sûr de trouver deux racines distinctes. d) Vocabulaire - On appelle aussi "trinôme" un polynôme du second degré. B) Signe du trinôme 1) Factorisation Comme on l'a vu en A), si f(x) = a x² + b x +c : si Δ > 0, on aura deux racines x1 et x2, et l'identité Si Δ = 0, on aura une racine double x1 et Si Δ < 0 , on n’a pas de racines réelles et f  x =a x – x1  x – x 2  . f  x =a

IDENTITES REMARQUABLES : 1ere identitée remarquable : Développement : • ( x + 4 ) le tout au carré = x au carré + 2 fois x fois 4 + 4 au carré • ( 3x + 5 ) le tout au carré = (3x) le tout au carré + 2 fois x fois 4+ 4 au carré Factorisation : • X au carré + 6x + 9 = x au carré + 2 fois x fois 3 + 3 au carré = ( x + 3 ) le tout au carré • 4x au carré + 20x + 25 = ( 2x ) au carré + 2 fois 2x fois 5 + 5x = ( 2x + 5 ) au carré Au calcul mental : • 102 au carré = ( 100

x1 = x2 = x0 = et se factorise comme suit : a x² + b x + c = a (x – x0)2 Tableau de signes : x x0 Signe de a Signe de a Signe de a Signe de (x – x0)2 + + Signe de a x² + b x + c = a (x – x0)2 Signe de a Signe de a c. Cas où  < 0 : La factorisation du trinôme a x ² + b x + c est impossible. Le trinôme a x ² + b x + c, dans ce cas, est toujours du signe de a. II. Solution d’une inéquation du second degré : Résoudre une telle inéquation revient à étudier le signe du trinôme a x ² + b x +

           d – Solutions (racines) d’une équation du second degré  Soient  ,  trois réels avec    0 . On pose   discriminant de l’équation  0. On a :    Les solutions  L’équation n’a pas de racines dans    0  0  L’équation a une seule racine dans    0  4 , soit   le  Factorisation  On ne pas factoriser        L’équation a deux racines distinctes dans     √ √     ;      Cas particuliers :   1    ;     *Si on a : a+b+c=0 alors on a    1    ;     *Si on a : a‐b+c=0 alors on a     Démonstration :  0  équivaut